5个月的宝宝发烧并伴有嗜睡，可能是身体在抵抗病毒或细菌感染时的反应。以下是一些可能的原因和建议：

1. 感冒或流感：这是最常见的原因，宝宝可能会发烧，感觉疲倦。
2. 肠胃炎：有时，肠胃病毒也可能导致宝宝发烧和嗜睡。
3. 耳部或喉咙感染：如果伴有耳朵疼痛或喉咙红肿，可能是由于这些部位的感染。
4. 其他病毒感染：如手足口病、麻疹等。

建议：

- 安抚宝宝，确保他/她舒适，但也要小心不要让宝宝过于嗜睡，因为这可能表明体温过高。

- 用温水擦拭宝宝的身体，帮助降低体温。

- 记录宝宝的体温，如果超过38℃，建议使用婴儿专用的退热药，但必须按照医生的指导来使用，不要随意给宝宝使用成人药物。

- 如果宝宝持续嗜睡或有其他症状如呕吐、腹泻、眼睛异常等，应尽快带宝宝去看医生。

- 给宝宝提供充足的液体，以防脱水。

请记住，任何与婴儿健康相关的问题都应该立即咨询医生或医疗专业人士。