牙龈肿胀可能是由于牙周炎、口腔卫生差或者牙齿周围感染等原因引起的，首先需要改善口腔卫生并及时就医检查。消炎药的选择应该由医生根据具体情况来定，因为药物的选择会考虑很多因素，例如病原体类型、患者的过敏史、药物的副作用和配伍禁忌等。

一般来说，非处方药中，对于轻度的牙龈炎可能使用的是含有布洛芬或对乙酰氨基酚等成分的非处方止痛药来缓解疼痛和炎症。如果是细菌感染引起的炎症，医生可能会开处方抗生素，如青霉素、阿莫西林或一代或二代头孢菌素等，但这需要在医生指导下使用。

请注意，任何药物都应在医生的指导下使用，特别是处方药，自行买药可能会导致药物滥用和不良反应。如果牙龈肿痛持续不减或者加重，应及时就医。