胸闷和背痛可能是多种疾病或状况的表现，具体挂哪个科取决于症状的具体表现和可能的病因。以下是一些可能的科室建议：

1. 内科（普通科）：胸闷和背痛可能是由心脏疾病、肺病、消化系统疾病、肾脏疾病、内分泌系统疾病等内科疾病引起的。

2. 骨科：背痛可能是由脊柱疾病、肌肉骨骼疾病、骨折等骨科疾病引起的。

3. 呼吸科：胸闷可能是由呼吸系统疾病引起的，如哮喘、肺炎、肺水肿等。

4. 心脏科：胸闷可能是由心脏疾病引起的，如冠心病、心律失常等。

5. 神经科：背痛可能是由神经系统疾病引起的，如颈椎病、腰椎间盘突出等。

建议您首先咨询专业医生，详细描述症状，以便医生能够更准确地判断可能的病因，并为您提供相应的治疗建议。