5个月宝宝发烧咳嗽是一种常见的症状，家长可以采取以下措施来处理：

1. 观察体温：使用体温计测量宝宝的体温，确保体温不超过38.5°C。如果体温超过38.5°C，建议给宝宝服用退烧药。

2. 保持舒适：给宝宝提供一个温暖、舒适的环境，保持室内温度适宜。

3. 保持水分摄入：给宝宝提供足够的液体，可以选择母乳、配方奶或稀释的果汁。

4. 咳嗽处理：使用加湿器增加室内湿度，可以帮助缓解咳嗽。如果宝宝咳嗽严重，可以考虑使用咳嗽药水或雾化器。

5. 就医：如果宝宝体温持续超过38.5°C，或者咳嗽严重影响呼吸，建议及时就医。

6. 预防措施：保持宝宝手部卫生，避免接触病毒源。定期接种疫苗，以预防感染。

需要注意的是，5个月宝宝发烧咳嗽可能是由多种原因引起的，因此建议家长在采取措施的同时，及时就医，以便得到专业的诊断和治疗。