咳嗽和痰是五个月大的孩子常见的症状，可能是由呼吸道感染或过敏引起的。以下是一些建议，希望能帮助您的孩子缓解症状：

1. 保持室内空气清新：保持室内空气流通，使用加湿器或使用湿拖把来保持地面湿润。

2. 保持孩子湿润：使用加湿器或湿毛巾擦拭孩子的口鼻，以保持呼吸道湿润。

3. 咳嗽缓解：使用温盐水漱口，或者使用蜂蜜或柠檬汁来缓解咳嗽。

4. 痰液清除：使用温湿毛巾或棉签轻轻擦拭孩子的喉咙，以清除痰液。

5. 保持孩子舒适：使用舒适的衣服和床垫，以帮助孩子放松和呼吸顺畅。

6. 咨询医生：如果孩子的咳嗽和痰持续或恶化，请咨询医生以获取专业建议。

7. 预防措施：保持孩子远离二手烟和污染物，以预防呼吸道感染。

希望这些建议能对您的孩子有所帮助。如果孩子的症状持续或恶化，请咨询医生以获取专业建议。