颈椎和肩膀痛可能是由多种原因引起的，因此具体挂哪个科取决于病因。以下是一些常见的可能的科室：

1. 骨科：骨科医生专门治疗骨骼和关节疾病，包括颈椎和肩膀的疼痛。他们可能会进行详细的病史询问、体格检查和可能的影像学检查，以确定疼痛的具体原因。

2. 疼痛科：疼痛科医生专注于治疗各种疼痛症状，包括颈椎和肩膀的疼痛。他们可能会使用各种非药物和药物治疗方法，以减轻疼痛和改善功能。

3. 脊柱外科：脊柱外科医生专门治疗脊柱相关的疾病和问题，包括颈椎和肩膀的疼痛。他们可能会建议进行手术治疗，如椎间盘切除术或脊柱融合术。

4. 针灸和推拿：针灸和推拿医生使用传统的中医疗法来治疗各种疾病和疼痛，包括颈椎和肩膀的疼痛。他们可能会进行针灸、推拿、拔罐和艾灸等治疗方法。

无论你选择挂哪个科，建议先咨询医生，详细描述你的症状和病史，以便医生能够为你提供最合适的治疗建议。