咳嗽和呕吐在三岁小孩身上可能是由多种原因引起的。以下是一些常见的原因和相应的处理方法：

1. 呼吸道感染：这可能是由于病毒或细菌感染引起的。处理方法包括保持室内空气流通，保持小孩的呼吸道通畅，使用适当的药物治疗（如咳嗽药水或抗生素），并确保小孩得到充足的休息。

2. 食物过敏：某些食物可能会引起小孩的过敏反应，导致咳嗽和呕吐。处理方法包括避免给小孩喂食引起过敏的食物，如果怀疑食物过敏，建议咨询医生或专业的营养师。

3. 呼吸道异物：如果小孩不小心将食物或小物件吸入呼吸道，可能会引起咳嗽和呕吐。处理方法包括观察小孩的呼吸，如果发现异物，可以尝试使用咳嗽法或使用海姆立克急救法。

4. 哮喘：某些小孩可能患有哮喘，这可能导致咳嗽和呕吐。处理方法包括使用适当的哮喘控制药物，并避免触发哮喘的诱因（如过敏原、冷空气等）。

5. 消化问题：某些小孩可能存在消化问题，如胃食管反流、幽门螺杆菌感染等，这可能导致咳嗽和呕吐。处理方法包括咨询医生，进行适当的检查和治疗。

如果小孩的症状持续或加重，建议及时就医，以便医生进行进一步的诊断和治疗。