手肘关节痛可能是由多种原因引起的，包括运动损伤、炎症、骨质疏松症等。具体挂哪个科取决于具体的病因和症状。

以下是一些可能的科室建议：

1. 骨科：骨科医生通常处理与骨骼和关节相关的问题，包括手肘关节痛。他们可能会进行详细的体格检查，并进行必要的影像学检查（如X光、CT或MRI）来确定具体的病因。

2. 运动医学科：运动医学科专注于运动相关的问题，包括运动损伤和疼痛管理。运动医学医生可能会进行详细的体格检查和运动测试，以确定具体的病因和治疗方案。

3. 疼痛科：疼痛科医生专注于处理各种疼痛症状，包括手肘关节痛。他们可能会进行详细的体格检查和疼痛评估，以确定具体的病因和治疗方案。

4. 内科：某些内科疾病（如风湿性关节炎、痛风等）也可能导致手肘关节痛。内科医生可能会进行相关的检查和评估，以确定具体的病因和治疗方案。

建议您咨询专业医生，进行详细的体格检查和必要的检查，以便确定具体的病因和治疗方案。医生将根据您的具体情况为您提供最合适的建议和治疗方案。