痛风是一种慢性疾病，痛风患者应该进行以下检查：

1. 血尿酸检查：这是痛风诊断的基本检查，可以确定患者的尿酸水平是否过高。

2. 肾功能检查：痛风患者可能存在肾功能损害，因此需要检查肾功能，包括血尿素氮（BUN）和肌酐（Cr）水平。

3. 关节超声检查：可以检查关节内的尿酸盐结晶，有助于痛风的诊断和评估。

4. 关节X线检查：可以观察关节内的尿酸盐结晶，有助于痛风的诊断和评估。

5. 痛风石检查：如果患者已经存在痛风石，可以通过超声或X线检查来评估痛风石的大小、数量和位置。

6. 炎症标志物检查：包括C-反应蛋白（CRP）和白细胞计数，可以评估患者的炎症水平。

7. 肾脏超声检查：如果患者存在肾功能损害，可以通过肾脏超声检查来评估肾功能。

8. 血液生化检查：包括肝功能、肾功能、血糖和血脂水平等，有助于评估患者的整体健康状况。

在进行这些检查之前，建议痛风患者先咨询专业医生，以确定具体的检查项目和频率。