后半夜咳嗽可能是多种原因引起的，包括：

1. 呼吸道感染：后半夜咳嗽可能是由于呼吸道感染引起的，如感冒、支气管炎、肺炎等。这些感染通常会导致喉咙和支气管的炎症，引起咳嗽。

2. 过敏反应：某些小孩可能对某些物质过敏，如花粉、宠物毛发、灰尘等。这些物质进入呼吸道会引起咳嗽。

3. 哮喘：有些小孩可能患有哮喘，这种疾病会导致气道炎症和气道痉挛，引起咳嗽。

4. 咳嗽反射：某些小孩可能存在咳嗽反射，即使没有任何呼吸道感染或炎症，也会因为某些刺激（如冷空气、烟雾等）而引起咳嗽。

如果你的小孩后半夜咳嗽，建议先观察咳嗽的频率、强度和伴随症状（如发热、流鼻涕等）。如果咳嗽持续或加重，建议带小孩去看医生，进行进一步的检查和诊断。医生可能会建议进行一些检查，如血液检查、X光检查等，以确定咳嗽的具体原因。