痛风患者应该进行以下检查：

1. 血尿酸检测：这是痛风诊断的金标准。血尿酸水平可以反映痛风的严重程度和治疗效果。

2. 肾功能检查：痛风患者可能存在肾功能损害，因此需要进行肾功能检查，包括血尿素氮（BUN）和肌酐（Cr）水平。

3. 关节超声检查：可以评估痛风患者的关节损伤和炎症程度。

4. 关节X线检查：可以观察痛风患者的关节结构和骨质破坏情况。

5. 痛风石检查：通过超声波或X线检查，可以发现痛风患者的痛风石。

6. 炎症标志物检测：如C-反应蛋白（CRP）和白细胞介素-6（IL-6）等炎症标志物，可以评估痛风患者的炎症程度。

7. 肾脏功能评估：如尿常规、尿微量白蛋白（mALB）等检查，可以评估痛风患者的肾脏功能。

这些检查可以帮助痛风患者了解病情严重程度、制定治疗方案，并监测治疗效果。