孩子发烧后开始咳嗽有可能是普通感冒、支气管炎、肺结核的原因导致的，首先要明确原因对症治疗。

1.普通感冒：普通感冒的发病原因包括细菌感染、病毒感染，临床表现为流鼻涕、打喷嚏、发热、鼻塞、咳嗽、咳痰、咽痒、发烧等，因此孩子发烧后会出现咳嗽的情况。可以在医生的配合指导下，服用板蓝根颗粒小柴胡颗粒等药物，能够起到清热解毒的作用，同时配合阿莫西林，青霉素等药物进行抗炎治疗。对于病毒感染导致的，可以服用奥司他韦、利巴韦林等药物。

2.支气管肺炎：支气管一般是由于病原体感染引起的，另外也有可能是物理化学性刺激或者过敏的原因导致。临床症状表现为咳痰、咳嗽，一般起病时比较急，可先出现发热，然后出现咳嗽的情况，因此在孩子发烧后会出现咳嗽的情况。可以在医生的配合指导下口服镇咳的药物，比如右美沙芬、喷托维林等，并且配合抗消炎的药物，比如罗红霉素等。

3.肺结核：肺结核属于一种慢性传染性疾病，可能是由于结核杆菌导致的，会出现咳嗽、咳痰、发热、身体乏力、盗汗等症状，其中发热是最常见的症状，其次可出现咳嗽。可以服用抗结核的药物进行治疗，比如利福平等。